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全国高校（本科）微课教学比赛教学设计方案
作品标题 拉格朗日（ Lagrange ）中值定理 所属课程 高等数学相关知识点 微分中值定理 所属学科 数 学类
授课对象 工科各专业一年级学生 授课时长 10 分钟
参考文献 同济大学数学系编 《高等数学》 （第六版 上册） 高等教育出版社
一、教学背景
拉格朗日 （ Lagrange）中值定理是一元函数微分学中的重要定理， 是在学习和掌握了导数的概念之后， 应用导数来研究函数和曲线某些性态的理论基础， 是高等数学教学中的重点和难点 .
二、教学目标
- 理解拉格朗日 （ Lagrange）中值定理的内涵和几何意义，理解其与罗尔 （ Rolle ）定理的关系.
- 掌握拉格朗日 （Lagrange ） 中值定理的证明方法 .
- 会应用拉格朗日 （Lagrange ）中值定理解决导数应用中的两个重要问题， 即导数为零的函数恒为常数，以及利用导数的符号判断函数的单调性 .
- 通过使学生经历从直观到抽象、 从图形 —— 形式化的数学语言 —— 定理的严谨描述去理解拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理的形成过程，体验数学定理证明的探索研究方法，同时使学
生学习数学思考研究的基本步骤，培养学生的数学思维能力，发展数学品质 .
三、教学内容及重难点分析
教学内容：拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理；
教学重点： 拉格朗日 （Lagrange）中值定理与罗尔 （Rolle ）定理的关系； 拉格朗日 （Lagrange）
中值定理的证明方法；拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理的两个推论； 教学难点：拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理的证明 .
四、教学方法
从几何图形的直观观察入手，以探索研究式的教学思想，从特殊与一般的关系，利
用数形结合的方法合理地分析，严谨地证明，讲授拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理蕴含的意义及其应用 .
五、教学过程框图
从两个具体问题引入 → 直观感受拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理的重要性
↓
由几何图形说出罗尔 （ Rolle ） 定理的几何意义 ← 回顾罗尔 （Rolle ） 定理
↓
通过图形过渡到拉格朗日 （ Lagrange）中值定理的几何意义
↓
给出拉格朗日（ Lagrange）中值定理 → 利用罗尔 （ Rolle ）定理证明该定理
↓
归纳总结 ← 思考练习 ← 回到开头的两个问题，给出推论
六、教学活动的具体过程
- 引入
首先给出学生已经熟悉的两个结论，在此基础上提出对这两个结论的新问题 .
- 回顾
复习罗尔 （ Rolle ）定理的条件和结论，指出罗尔 （ Rolle ）定理的几何意义，同时分析罗尔（ Rolle ） 定理的局限性，引导学生借助直观几何图形的变化 , 思考从特殊向一般的转化， 为讲授拉格朗日 （ Lagrange）中值定理做铺垫 .
- 核心内容
| ①
② |
拉格朗日
拉格朗日 |
（ Lagrange）中值定理的表述；
（ Lagrange） 中值定理的证明； |
|
|
4. 应用 |
③ | 拉格朗日 | （ Lagrange） 中值定理的几何意义； |
回到课程开始时提出的两个问题上去，应用拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理解决这两个问题，并给出课后思考题，首尾呼应，形成一个完整的教学过程 .
七、教学总结
在学生已有的知识模块基础上， 以两个简单但却意义深刻的问题为导线引出教学的主要 内容。通过直观的几何图形，形象地给出拉格朗日（ Lagrange）中值定理的结论。借助罗尔
（Rolle ）定理、拉格朗日（ Lagrange）中值定理之间紧密的关系，遵循探索研究式的教学原则，采用整体设计、突出重点、直观分析、注重理解的教学方式，从数形结合的角度，完成
了从特殊定理即罗尔（ Rolle ）定理到一般定理即拉格朗日（ Lagrange）中值定理的讲授与证
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